In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, e che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica.
La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia.
Il teorema del viriale afferma che in un sistema di N particelle che si muovono in una regione limitata di spazio, la cui energia cinetica totale sia
, vale la relazione
![{\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace3cdbb20a211ebd4e611b97c88ed99ae84ae1f)
dove le parentesi indicano la media temporale ed
rappresenta la forza che agisce sulla k-esima particella, situata nella posizione
.
Se l'energia potenziale del sistema è una funzione omogenea di grado n delle coordinate, ovvero della forma
![{\displaystyle U(r)=\alpha r^{n}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94c50f171520975fd7806e9aa70ed41364230a5)
cioè proporzionale ad una potenza n della distanza media r tra le particelle, allora il teorema assume la forma
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53930af90180697d0965c8eaeadff7b2e1a4b2d)
dove l'energia potenziale totale media
è la somma dell'energia potenziale tra ogni coppia di particelle.
Nel caso particolare di un potenziale gravitazionale, proporzionale al reciproco della distanza, si ha che
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =-\langle U\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96abb5adf8e144184744089e93659d4894639cf1)
dove U è l'energia potenziale gravitazionale.
Per dimostrare il teorema si consideri un sistema di masse
ognuna indicata da un raggio vettore
riferito ad una certa origine. Sia
la forza agente sulla massa i-esima.
Indicando con
la quantità di moto della massa i-esima, allora
![{\displaystyle \sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b55f9a9f6e73d8afc40861ae282c26f4f77d7c)
L'ultima somma, che si denota con
, è pari a metà della traccia del tensore d'inerzia, che corrisponde al momento d'inerzia per un problema bidimensionale, rispetto all'origine del sistema di masse. Derivando questa espressione si ottiene:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+2T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ea95ad1fd1056bd18f0a371fdc3d8da75a5783)
Dove si è usata la relazione classica
.
Indicata con
la forza esercitata dalla massa i-esima sulla massa j-esima e tenuto conto della natura gravitazionale delle forze
![{\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}}{r_{ij}^{3}}}=\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}[\mathbf {r} _{i}\cdot (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})+\mathbf {r} _{j}\cdot (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6341f43048afade7c3792ad711b931911046cc8c)
![{\displaystyle =\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72147a6e58088dc3798a1e8a57e178801e32d93b)
L'ultima espressione è quindi semplicemente U, l'energia potenziale gravitazionale totale del sistema di masse.
Siamo quindi giunti alla seguente espressione:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fad2e2d6e92c99d2f1124d0acb2cd4f3208a1b3)
ed il teorema si ottiene quindi mediando entrambi i membri. Vista l'ipotesi di limitatezza dei moti, la media del primo membro è nulla, infatti il valor medio di una qualunque funzione del tempo
è definito come
![{\displaystyle {\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1681be1f4b1ad66382d295ff3806c0c35a488299)
Se
è una derivata rispetto al tempo
di una funzione limitata
risulta
![{\displaystyle {\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{{dF\left(t\right)} \over {dt}}dt=\lim \limits _{T\to +\infty }{{F\left(T\right)-F\left(0\right)} \over T}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700d585ff531415221c1f39a65475bb344a4e4db)
Poiché l'energia cinetica
è una funzione quadratica delle velocità, si ha, per il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee
![{\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\cdot \mathbf {v} _{i}=2T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7944a8a7fd3d51207193efc4c1bff3d913a29ab5)
se ora introduciamo gli impulsi
![{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\mathbf {p} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1565e0a0a9d0f195bd22cbb928feb952c9b3c3ec)
e le rispettive derivate rispetto al tempo conformemente alle equazioni di Newton
![{\displaystyle \mathbf {\dot {p}} _{i}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b7b3e02435ae2fc8f8094659437250dd76f37c)
si ottiene
![{\displaystyle 2T=\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot }\mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)-\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot \mathbf {\dot {p}} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)+\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f8d45604715d274665e91814e3aab4dc8ca630)
in virtù del Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee risulta
![{\displaystyle nU=\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82341091aff0be8b80ce244feed4f5780056accc)
mentre per l'ipotesi di limitatezza dei moti il valor medio rispetto al tempo del termine
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55abeeccac67ddbd788d1cf2c4b036ae067f010)
è nullo. Da ciò segue l'asserto
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53930af90180697d0965c8eaeadff7b2e1a4b2d)
che nel caso gravitazionale, in cui
, si riduce all'enunciato particolare.
Anche in Meccanica Quantistica si ha una variante del teorema del viriale classico.
Denominando con
un autostato relativo all'autovalore
dell'hamiltoniana
![{\displaystyle H=T(\mathbf {p} )+U(\mathbf {q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578036e1c1b8162412b14bdf6869c12650173453)
dove l'energia cinetica
è sempre una funzione dei quadrati degli impulsi e l'energia potenziale
è ancora una funzione omogenea di grado
delle coordinate
, si ha:
![{\displaystyle 2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0819ace71e2c7b18444cc25d6ad9f909289a7c)
In questa dimostrazione, per comodità di scrittura, utilizzeremo la convenzione di Einstein secondo la quale, quando ci sono due indici ripetuti, si sottintende una sommatoria sugli indici stessi, ad esempio:
![{\displaystyle q_{i}p_{i}\equiv \sum \limits _{i}{q_{i}p_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca09d07731d895509d4f4ada869531a464e18fd)
Per la dimostrazione è utile dimostrare preliminarmente la seguente uguaglianza:
.
Infatti, ricordando che
, vale:
![{\displaystyle \langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =\langle E|({q}_{i}{p}_{i}H-H{q}_{i}{p}_{i})|E\rangle =E\langle E|{q}_{i}{p}_{i}|E\rangle -E\langle E|{q}_{i}{p}_{i}|E\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9c395c9bcf97b41bd59c689999322e6e60c1f3)
Possiamo ora dimostrare la versione quantistica del teorema del viriale:
![{\displaystyle 0=\langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =\langle E|{q}_{i}[{p}_{i},H]|E\rangle +\langle E|[{q}_{i},H]{p}_{i}|E\rangle =\langle E|{q}_{i}[{p}_{i},U]|E\rangle +\langle E|[{q}_{i},T]{p}_{i}|E\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e314d31ab8e8dd6bacf0563db03b8e844da99df9)
dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che
![{\displaystyle \left[{q_{i},U\left({\mathbf {q} }\right)}\right]=\left[{p_{i},T\left({\mathbf {p} }\right)}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780a60a0d67b23569e512bf58f4fe0238046db6f)
Dalle proprietà del commutatore posizione-momento segue che
![{\displaystyle \left[{q_{i},T\left({\mathbf {p} }\right)}\right]=i\hbar {\frac {\partial T}{\partial p_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53630311e40ed54519cea03b21931a832f1a74e)
![{\displaystyle \left[{p_{i},U\left({\mathbf {q} }\right)}\right]=-i\hbar {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f417982543f752c7300a6a45f3bfadb20c18b2)
e di nuovo dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee segue
![{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial p_{i}}}p_{i}=2T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74745e410714f8e130982e8fc7d6e17ac72a7ebf)
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}q_{i}=nU}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7a940ad94687d06c0ab7f14053a971df0e7041)
Mettendo tutto insieme si ottiene
![{\displaystyle -i\hbar \langle E|nU|E\rangle +i\hbar \langle E|2T|E\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405cd8704d3e01c2dab0fea11d182e92ab1259e5)
da cui l'enunciato
![{\displaystyle 2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0819ace71e2c7b18444cc25d6ad9f909289a7c)